タイヒ ミュラー 空間。 鎖国についてなど: タイヒミュラー空間についてのまとめ

超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動 HONZ特選本『宇宙と宇宙をつなぐ数学』(1/3)

タイヒ ミュラー 空間

タイヒミュラー空間論は、複素解析と代数幾何の基礎的な素養を必要とし、初学者には難解な理論とされてきた。 本書は出来るだけ少ない予備知識でこの理論を解説する優れた入門書であり、この空間への「座標」、「位相」、及び「複素構造」の導入という三つの大きなテーマで構成されている。 第1のテーマは、大域的な座標であるフリッケ座標とフェンチェル・ニールセン座標の導入の議論である。 この議論の根底に、閉リーマン面の被覆面(あるいは、フックス群モデル)の理論があることを読者は容易に認められると思う。 第2のテーマは、擬等角写像を用いた位相(特に、距離)の導入の議論である。 特に、ベルトラミ方程式の可解性、即ち与えられたベルトラミ係数を歪曲係数にもつ擬等角写像の存在、及びそのフレシェ微分の積分表示に関する関数解析的な議論が非常に重要である。 この結果、「タイヒミュラー空間は、フリッケ空間とともに、6g-6 次元ユークリッド空間と同相である」というタイヒミュラーの定理が導かれている。 第3のテーマ(複素構造の導入)は、ベルトラミ微分、擬等角写像、及び正則2次微分の各々の理論が美しく交錯する本書のハイライトである。 複素構造導入に関するベアスの素晴らしいアイディア、ヴェイユとピーターソンによるエルミート計量の導入、またその計量のケーラー性、更にその基本形式をフェンチェル・ニールセン座標で明示的に表現するウォルパートの公式、などが非常に美しい証明とともに解説されている。 ここでは「タイヒミュラー距離が小林双曲距離に一致する」というロイデンによる驚くべき大定理も紹介されている。 この本はタイヒミュラー空間を主題として、その位相的・解析的な基礎理論を語ることにより、現代数学の魅力的な諸分野への案内書にもなっている。 【追記】 レビューを投稿する前に作成した「ドラフト版」をコメントに載せたいと思う。 上記のレビューより少し詳しく記述されているので、あわせてご覧頂けると幸いです。

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望月新一

タイヒ ミュラー 空間

今月初めにを受賞したピーター・ショルツが、の教授によるの証明に問題点を見つけた、という話を経由で知った。 ただ、ショルツのその指摘を望は認めておらず、今年3月に京都で直接顔を合わせた際も議論はすれ違いに終わり、両者の意見は今のところ平行線を辿ったままだという。 この件(というか数学全般)について小生は完全な門外漢ではあるが、専門用語の訳をグーグルさんに頼りつつ、以下に紹介してみる。 Thanks for the wonderful post! I agree with everything that was said. One small thing I would like to add is that accounts indicate that no experts have been able to point to a place where the proof would fail. This is in fact not the case; since shortly after the papers were out I am pointing out that I am entirely unable to follow the logic after Figure 3. 8 in the proof of Corollary 3. 12, one concludes [the main inequality]. Those proofs, by the way, are completely sound, very little seems to happen in those two papers to me. Since then, I have kept asking other experts about this step, and so far did not get any helpful explanation. In fact, over the years more people came to the same conclusion; from everybody outside the immediate vicinity of Mochizuki, I heard that they did not understand that step either. [I did hear that in fact all of parts II and III should be regarded as an explanation of this step, and so if I am unable to follow it, I should read this more carefully… For this reason I did wait for several years for someone to give a better or any explanation before speaking out publicly. The computer will not be able to make sense of this step either. The comparison to the Kepler conjecture, say, is entirely misguided: In that case, the general strategy was clear, but it was unclear whether every single case had been taken care of. (拙訳) 素晴らしいポストを有難う! 書かれたことに全面的に同意する。 一つ細かな点を付け加えるならば、証明が間違ったであろう箇所を専門家は誰も指摘できない、と大半の記事は述べているが、これは事実ではない。 論文が出た直後から、私は、パート3の系3. 12の証明の図3. 8の後のロジックが全くフォローできない、と指摘している。 それは、「上記の議論を系3. 12において導入された記法で解釈するならば、(主題の不等式という)結論が導かれる」というものだ。 ちなみに[それ以外の「定義から導かれる」と言っている]証明は完全にまともなものであり、その2つの論文ではほとんど何も起きていない(ように私には見える)。 それ以来、私は他の専門家にこのステップについて尋ね続けているが、今のところ有益な説明は一切受けていない。 実際のところ、年を経るに従ってより多くの人が同じ結論に到達しつつある。 私が聞いたところでは、望月の側近の人たち以外は皆、やはりそのステップを理解できていない。 その証明を理解したと主張する人は、説明が言葉足らずであることを認めようとはしない。 実際、山下のものを含めどの論文でも、あるいはこのテーマについてなされたどの講義においても、(公けに記録されている限りにおいては)これ以上の詳細は提示されていない。 [実際のところ、パート2と3はすべてこのステップの説明と見做すべきであり、従ってこれが理解できなければもっと注意深く読むべきである、という話は聞いた…そのため私は、この話を公けにする前に、誰かがもっと良い(ないし何らかの)説明をしてくれるのを数年間待っていた。 ] 最後にもう一つ。 コンピュータによる確認について言及したものすべてに私は非常に苛立っている(このブログでは出てきていないが、望月の研究をネットで論じた別のどこかに出ていた)。 コンピュータもこのステップを明らかにすることはできない。 例えばと比較するというのは、完全に間違っている。 の場合は、全体戦略は明確であったが、すべてのケースが虱潰しに調べられたかどうかが明確でなかった。 本件の場合は、ケースは一切存在せず、「よって結果が導かれる」という主張だけが存在する。 なお、このショルツのコメントの少し前には、12年前の受賞者であるテレンス・タオも、以下のように書いている。 Thanks for this. error occurs to dramatically simplify the problem. It seems to me that having a shorter proof of concept e. (拙訳) このエントリを書いてくれたことに感謝する。 望月の研究について情報をもたらすような一次的な見解を出すほどの専門知識はないが、私がより精通している貴兄が言及したや張益唐の研究とこの話を比べてみると、一つの大きな違いは、後者では短い「概念実証」文書があったが、前者にはない、ということである。 ここで「概念実証」とは、問題の論文の方法論を比較的手っ取り早く利用して、既存分野における新たな興味深く自明でない結果(もしくは既存の自明でない結果についての新たな証明でも良いが)が得られる手法、を私は意味している。 の研究の場合、最初の論文の5ページ目までに勾配流としてのリッチフローという新規の解釈をは早くも提示しており、それは非常に有望という思いを抱かせる。 そして7ページ目までには、その解釈を用いてリッチフローの「非ブリーザー」理論を打ち立てている。 を完成させる必要部品としてはまだまだ不十分ではあるが、それだけで既に新たな興味深い結果であり、当該分野の専門家がこの論文には良いことがいっぱい詰まっている、と直ちに確信した理由の一つであろうと私は考えている。 張益唐の54ページの論文は、専門家にとって当たり前のことにさらに多くの時間を費やしている(具体的には、解析的に共通の伝統に従って、論文のかなり長いが直接的な最初のセクションで、後で必要になる通常のレンマをすべて提示している)が、すべてのレンマが提示された約6ページ後に、益唐は自明でない結果を提示している。 それは、スムーズなモジュライ空間についてボンビエリ=ヴィノグラドフの定理を少しでも改善できれば、間の有限なギャップが存在する、というものである。 (この結果は以前に本橋とピンツによって独立に提示されたが、益唐の論文の残り30ページの議論にそのまま応用できる形ではなかった。 )それは益唐論文の最も深遠な部分とは言えないが、間違いなく問題をより解明できそうな形に変形している。 これは、のような主要な問題に取り組んだ無数の論文とは対照的である。 それらの論文では、問題をますます難しく見える形に変形し続けており、そのうちに奇跡(即ち、誤り)を起こすことによって問題を劇的に簡単化している。 私が見聞きしたところでは、現在、既存分野(即ち以外)における望月の研究の自明でない結果についての最短の「概念実証」では、を確立するために300ページ以上の議論が必要、とのことである。 もっと短い(例えば100ページ以内の)概念実証を出せば、この件についてのを払拭するのに役立つのではないかと思われる。 300ページ以上掛けて構築した後の外部への応用がの証明だけで、その構築の一部分から自明でない外部的な結果がもたらされることは一切ない、という完全に自己完結した理論の存在、というのは私には奇妙なものに思われる。 ちなみに、ショルツが言及した山下氏が海外の研究者と2015年12月にオックスフォード大学でやり取りした時の様子はで報告されている。 また、2014年12月には、望自身が海外の研究者に対し、虚心坦懐に一からを理解しようとしない、という批判をで展開している。 : Peter Scholze、。 : ただしリンク時にWoitはブログ主がだと明記してしまっている。 : 署名にはPSとしか書かれていないが、Woitはショルツのコメントだとしている。 : 訳注:一つの解釈として[]内を補完してみたが、正直なところこの一文は完全には意味が取れなかった。 It is in the proof of Corollary 3. 12, which is non-trivial and supposedly given in detail, that he identifies a potential problem. 」と書かれている。 : Terence Tao、。 : [追記]ブリーザーについては参照。 」と定義している。 himaginary.

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望月新一

タイヒ ミュラー 空間

Contents• 専門分野の経歴は、我々のような素人にははるかに理解を超えていますが、実績を調べると以下のような記載があります。 グロタンディーク予想(遠アーベル幾何予想)を予想を超えた形で証明。 p 進タイヒミュラー理論の構築、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論の構築、曲線のモジュライ空間の既約性の別証明、数論的小平・ スペンサーの 変形理論、Hurwitz スキームのコンパクト化、crys-stable bundle の構成、数論的 log Scheme 圏論的表示の構成、宇宙際幾何 うちゅうさいきか、inter-universal geometry の構築。 1998年の ICM では招待講演をしている。 出典: ABC予想 こちらも素人が説明できるレベルを超越していますが、以下のような予想です。 あまりに難解極まりない理論のため、第三者による「間違いなし」という「査読」が難航しています。 この点を憂慮した望月新一教授は、以下のようにコメントされています。 理論の本筋や本質的な正否に関わるような問題点は一件も確認されておりません。 出典: また、ご本人以外の方による数々の検証結果を受けて、以下のように考えているともコメントされています。 宇宙際タイヒミューラー理論の実質的な数学的側面についての検証は事実上完了している。 出典: 望月教授のウェブサイトから垣間見えるのは、 「検証作業に参加していない多くの専門家たちは、「1から理論を勉強する」時間を割くことを躊躇しているため、理論が理解できない」 ということです。 ショルツが指摘した欠陥とは ピーターショルツ教授 数論幾何学と呼ばれる数学の分野の教授で、数学界の最大の名誉とされる「フィールズ賞」を30歳で受賞した方です。 ABC予想という数学界が注目している超難問を証明したという望月教授の論文は、ショルツ教授も注目されていたようです。 論文を読み進める中で、理解が追いつかない箇所があったようで、2018年3月に望月教授と議論を交わす場を設けました。 その模様を以下のように表現されています。 出典: その理解が正しいかどうかを確かめるために、2018年3月に望月教授の元を訪ねたのでしょう。 望月新一教授の反応は? 専門家でないと指摘の内容を理解することは困難ですが、結論をいうと、「ショルツ教授は深刻な誤解をしている」という全否定とも取れる評価をされています。

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